一窥数字傅里叶变换矩阵
前言
DFT vs IDFT matrics
酉矩阵特性
矩阵DFT运算
矩阵的值长什么样
操练
总结
参考
前言
DFT技术虽然很神奇，但总觉得是个黑洞，摸不着头脑，今天研究一下DFT matrix，能更加清楚的了解一些内核的东西。
DFT vs IDFT matrics
这是一个N*N方阵，矩阵的基本元素由 W = e − j 2 π / N W=e^{-j2\pi/N} W=e−j2π/N来构成，每个位置元素 a i j = W ( i − 1 ) ∗ ( j − 1 ) = e − j 2 π ( i − 1 ) ( j − 1 ) / N a_{ij}=W^{(i-1)*(j-1)}=e^{-j2\pi (i-1)(j-1)/N} aij=W(i−1)∗(j−1)=e−j2π(i−1)(j−1)/N。即矩阵元素的索引是从自然数1开始的，但指数运算需要从0（据说现在小学已经把0化为自然数了。。。）开始。简单的列一下这个矩阵： W = [ e − j 0 e − j 0 e − j 0 ⋯ e − j 0 e − j 0 e − j 2 π / N e − j 4 π / N ⋯ e − j 2 ( N − 1 ) π / N e − j 0 e − j 4 π / N e − j 8 π / N ⋯ e − j 4 ( N − 1 ) π / N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e − j 0 e − j 2 ( N − 1 ) π / N e − j 4 ( N − 1 ) π / N ⋯ e − j 2 ( N − 1 ) ( N − 1 ) π / N ] = [ 1 1 1 ⋯ 1 1 e − j 2 π / N e − j 4 π / N ⋯ e − j 2 ( N − 1 ) π / N 1 e − j 4 π / N e − j 8 π / N ⋯ e − j 4 ( N − 1 ) π / N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 e − j 2 ( N − 1 ) π / N e − j 4 ( N − 1 ) π / N ⋯ e − j 2 ( N − 1 ) ( N − 1 ) π / N ] \bold W=\begin{bmatrix} e^{-j0} &e^{-j0} &e^{-j0} & \cdots & e^{-j0} \\ e^{-j0} &e^{-j2\pi /N} &e^{-j4\pi /N} & \cdots &e^{-j2(N-1)\pi /N} \\ e^{-j0} &e^{-j4\pi /N} &e^{-j8\pi /N} & \cdots &e^{-j4(N-1)\pi /N} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{-j0} &e^{-j2(N-1)\pi /N} &e^{-j4(N-1)\pi /N} & \cdots & e^{-j2(N-1)(N-1)\pi /N} \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 1 &1 &1 & \cdots & 1 \\ 1 &e^{-j2\pi /N} &e^{-j4\pi /N} & \cdots &e^{-j2(N-1)\pi /N} \\ 1 &e^{-j4\pi /N} &e^{-j8\pi /N} & \cdots &e^{-j4(N-1)\pi /N} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 &e^{-j2(N-1)\pi /N} &e^{-j4(N-1)\pi /N} & \cdots & e^{-j2(N-1)(N-1)\pi /N} \end{bmatrix} W=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡e−j0e−j0e−j0⋮e−j0e−j0e−j2π/N